Он родился в 1918 году в селе Веденкино ( Называевский район Омской области ). До призыва в ряды Красной Армии работал в колхозе.
Мать говорила, что сын очень похож на отца. Андрей никогда не видел его. Отец погиб, защищая молодую Советскую республику, в том году, когда Андрей появился на свет. Унаследовав от отца богатырскую силу, Андрей с детских лет помогал матери по хозяйству, а в 12 уже работал в колхозе.
Пришло время призыва в армию. Служил в кавалерии. Только вернулся домой - началась Великая Отечественная война. Воевал на Северном фронте. В одной из вылазок за "языком" в Январе 1942 года вражеская пуля перебила ногу. Товарищи вынесли с поля боя и отправили в госпиталь.
После выздоровления в свою часть вернуться не удалось. Зачислили в 93-ю бригаду морской пехоты, а так как хорошо стрелял, попал в снайперскую команду.
Осенью 1942 года бригада прибыла под Сталинград и сразу же вступила в бой в районе балки Купоросной. Немецкие войска рвались к Волге. Батальон, в котором сражался сержант Пуненко, контратакуя, глубоко вклинился в боевые порядки противника. Встретив плотный огонь из дзота, моряки залегли. Тяжело раненный майор Гордиенко приказал сержанту:
- Надо во что бы то ни стало уничтожить пулемёт !
Взяв 3 гранаты, Пуненко пополз к дзоту. Когда оставалось 40 - 50 метров, немцы, видимо, заметили его, бросили гранату. Она разорвалась рядом. Осколки впились в лицо и левую руку. Не обращая внимания на боль и кровь, Пуненко чуть приподнялся и метнул лимонку. Ещё перед амбразурой не опала пыль от взрыва, бросил вторую гранату. Пулемёт замолчал. Моряки снова поднялись в атаку, а сержанта отправили в госпиталь. За этот подвиг он был награждён орденом Красной Звезды.
Когда Пуненко был уже в группе выздоравливающих, его определили на курсы санинструкторов. После окончания курсов присвоили звание "старшина медицинской службы" и направили в 81-ю Гвардейскую стрелковую дивизию 7-й Гвардейской армии, которая занимала оборону на Курской дуге, под Белгородом. Так снайпер Пуненко стал санитаром.
От Михайловки до Масловой Пристани наступали 3 танковые и 3 пехотные дивизии противника. Гвардейцы 3 суток отбивали яростные атаки противника, но не отступили. Под вечер Гвардии старшина Пуненко на попутной машине, гружённой боеприпасами, отправился на передний край для эвакуации раненых. Вдруг слева от дороги он увидел перебегавших по лощине немецких солдат.
- Неужели прорвались, гады ? Смотри, заходят в тыл !
Шофёр остановил машину. Взяв из кузова запасные диски к автоматам и по ящику гранат, санинструктор и водитель поднесли их к обочине и вступили в бой. Много фашистов полегло, остальные отступили. В батальон Пуненко прибыл поздно вечером. Работы оказалось много. Отправив машину с ранеными, санинструктор остался в батальоне.
Ночью немцы предприняли ещё одну атаку и потеснили наши подразделения. Гвардии старшина Пуненко был тяжело ранен в грудь. Старшина роты Самохвалов, взвалив его на спину, пошёл на звуки боя. К утру они добрались до своих.
Почти месяц Пуненко пролежал в госпитале. После излечения вернулся в свою часть. Форсировал Днепр, освобождал Кировоград, участвовал в Ясско - Кишинёвской операции, воевал в Карпатах, сражался за Братиславу, прошёл всю Венгрию и Чехословакию.
За вынос с поля боя раненых и оказание первой помощи бойцам и командирам под огнём противника в районе Кировограда командир дивизии наградил А. А. Пуненко орденом Славы 3-й степени.
За отвагу и мужество в Ясско - Кишиневской операции и вынос с поля боя более 20 раненых приказом командующего войсками 7-й Гвардейской армии от 17 Октября 1944 года он был награждён орденом Славы 2-й степени.
Ордена Славы 1-й степени Пуненко удостоен за героизм при форсировании рек Грон и Морава в Чехословакии и оказание первой помощи бойцам и командирам в ходе боёв на захваченных плацдармах.
После войны кавалер 2-х орденов Красной Звезды и 3-х орденов Славы Гвардии старшина запаса А. А. Пуненко руководил макаронным цехом Петропавловского хлебокомбината Казахской ССР. Его цех был коллективом коммунистического труда. Андрей Алексеевич являлся также председателем товарищеского суда, председателем заводского комитета профсоюза хлебокомбината.
